Куат Борашев родился в 1972 году в Джамбулской области.

Окончил Казахский государственный национальный университет им. Аль-Фараби. Квалификация по специальности — журналист.

• Трудовую деятельность начал в 1993 г. в должности редактора государственной телерадиовещательной компании «Казахстан».
• С мая по октябрь 1994 г. был репортером республиканской корпорации «Телевидение и радио Казахстана».
• В 1994-1995 гг. — учитель средней школы.
• В 1995-1997 гг. — диктор телекомпании «Райхан-ТВ».
• С июля по сентябрь 1997 г. — редактор городского телеканала «Тараз-ТВ».
• В 1997-2000 гг. — редактор, руководитель групп «Акнур» и «Азан», комментатор ЗАО «Жамбылская областная телерадиокомпания».
• В 2000-2003 гг. — главный специалист ЗАО «Қазақстан темір жолы».
• В 2003-2005 гг. — корреспондент республиканской газеты «Егемен Қазақстан».
• С февраля по июнь 2005 г. — заведующий отделом НЗАО «ТРК Президента РК».
• В 2005-2006 гг. — заведующий отделом НЗАО «ТРК Президента Республики Казахстан».
• С марта по август 2006 г. — главный эксперт пресс-службы Президента РК.
• В 2006-2007 гг. — обозреватель республиканской газеты «Егемен Қазақстан».
• В 2007-2012 гг. — занимал различные должности в Администрации Президента РК.
• В 2012-2013 гг. — заместитель председателя Комитета информации и архивов Министерства культуры и информации РК.
• В 2013-2017 гг. — заместитель заведующего Секретариатом Государственного секретаря РК.
• С июня по ноябрь 2017 г. — главный редактор республиканской газеты «Егемен Қазақстан».
• В 2017-2019 гг. — председатель Комитета языковой политики Министерства культуры и спорта РК.
• С марта 2019 г. по июнь 2021 года — заместитель заведующего секретариатом Государственного секретаря РК.
• С июня 2021 г. - Председатель Комитета по делам архивов и управления документацией Министерства культуры и спорта РК